Wichtig vorab: es geht um die Variante mit 3W-Leistung?
Dann gilt folgenden Explosionszeichnung:
"https://si.shimano.com/de/pdfs/ev/DH-T780-3192/EV-DH-T780-3192.pdf"
Bei 1,5 W Leistung wäre es eine andere.

Mit viel Glück ist nur das linke Lager kaputt. Ersatzkonen (anhand der Teilenummer in der Explosionszeichnung zu googlen) sind wohl für ca. 15,- lieferbar.
Vorschlag wäre also, das linke Lager aufzuschrauben und zu gucken, ob das als Ursache in Frage kommt und wie die Nabe sonst so aussieht.
Dabei etwas Vorsicht, denn beim lockern des linken Lagers bekommt die ganze Achse Spiel. Allzu starkes Ziehen an der losen Achsen o.ä. könnte dann auch rechts die Kabel beschädigen. Aber wie gesagt, da die Nabe schon kaputt ist, riskierst Du nicht soooo viel, trau Dich. Es gibt auch gute Detailbeschreibungen dazu im Netz.

Dann kommt die Wettentscheidung, entweder:
a) Falls das Lager links, z.B. der Konus beschädigt, aber die Lagerschale intakt ist, links Konus udn Kugeln tauschen und drauf hoffen, dass es das dann war. Wenn nicht, muss ohnedies Schritt b) oder direkt c) folgen.
b) Gleich auch mit viel Vorsicht das rechte Lager aufmachen und prüfen. Ob der Konus (falls rechts getauscht werden müsste) für links auch rechts passt, keine Ahnung, aber denkbar ist es.
c) Gleich auch rechts die ganze Dynamoeinheit tauschen. Diese scheint auf meinen ersten Blick leider nicht mehr so ohne Weiteres lieferbar zu sein. Auch komplette DH-T780 wohl nicht so einfach. Müsste man wohl etwas suchen im Netz. Möglicherweise sind aber andere Dynamoeinheiten von Shimano kompatibel. Muss man sich notfalls durch die diverse Explosionszeichnungen klicken. (Dass die Werkstatt angesichts dessen abgewunken hat, kann ich verstehen.)
Und ja, Reparaturfreundlichkeit bei Shimano könnte beser sein.

Wenn Du nicht selbst schrauben kannst/willst, aber die Ersatzteilebesorgung - und sei es über ebay - übernimmst, sollte eigentlich jede Werkstatt Schritt c machen, sofern Du neue Teile besorgst. Der Komplettaustausch ist kein Hexenwerk. Schritt a) alleine oder b) lohnen wegen des Zeitaufwands in einer Werkstatt aber wohl nicht.